Non. Il faut déjà réflechir à la sémantique de ta classe. Est-ce qu'elle peut être copiée dans tous les sens, ou bien est-ce qu'une instance représente une "entité" et ça n'aurait pas de sens d'en créer des copies si facilement ?
Si ta classe est vouée à être copiable, alors implémente un constructeur par copie et un opérateur d'affectation pour que ses copies soient correctes. Ca peut se faire indirectement : comme c'est la texture qui pose problème, s'en débarasser peut résoudre ton problème ; en la stockant ailleurs (dans un manager ou autre) comme proposé par G.
Si ta classe ne doit pas être copiée, alors fais-la dériver de sf::NonCopyable (par exemple) de sorte que le compilateur te crie dessus quand tu fais des copies non-voulues, comme c'est le cas ici. Ensuite pour éviter les copies tu auras différents mécanismes à ta disposition (std::unique_ptr, vector::emplace_back, std::move, ... (tout ça c'est du C++11)).
Bref, avant de sortir une rustine technique et de tomber sur le prochain problème, prend le temps de réflechir à la conception de tes classes, ça résoudra bien des problèmes potentiels avant qu'ils ne se présentent à toi.